现在正在学习的课程，努力保持每周更新前一周的笔记（因为笔记中会加入一部分作业题目的答案，所以会晚一周上传） Algebraic Topology下载

Theorem: Let $M,N$ be two smooth manifold and $f_1,f_2:M\to N$ are two smooth homotopic maps. If $E$ is a vector bundle on $N$, then $f_1^{\ast }E\cong f_2^{\ast }E$. Proof: Let $i_1:M\to…

Proposition: If a Riemannian manifold $(M,g)$ has non-positive sectional curvature, then $\mathrm{\forall }p\in M,\mathrm{conj}(p)=\mathrm{\varnothing }$. Proof: Suppose $q\in \mathrm{conj}(p)$ is …

早上在证明黎曼流形上的极值原理的时候意识到了这件事，于是把完整过程写一下以作记录。 Proposition: For a smooth map $f:M\to N$, the representation matrix of its derivative $df\in \mathrm{\Gamma }(M,T^{\ast }M\otimes f^{\ast }TN)$ is orthogona…

$GTM218$第1-4章习题解答，原本想着开学后继续写的，但后来都一直没空写…… 参考的资料有：J. Lee主页的勘误以及一位大佬所写的部分习题解答。 solution下载

基本上已经完结了，之后可能还会添加一些课程中未解释而直接使用的命题的证明，方便读者理解。 欢迎大家在评论区中指出笔记中的错误或不足之处。 2025.2.17: 根据读者们的反馈，增加了一些命题与注释，并添加了一章附录。 2025.2.21: 增加了一些概念的几何意义，并修正了第一章中对曲率是张量的证明。 2025.3.11: 添加第三章中对黎曼度量…